题解
考虑使用总数减去不合法的数量
首先将\(n, m\)都加上\(1\),将网格变成坐标系
总数即为\(\large\binom{n\times m}{3}\)
不合法的有三种情况:
三个点在同一行上。每一行有\(\binom{m}{3}\)种不合法的情况,有\(n\)行,总数\(n\cdot\binom m3\)
三个点在同一列上。每一列有\(\binom n3\)种不合法的情况,有\(m\)行,总数\(m\cdot\binom n3\)
三个点在同一条斜线上
如果斜率为正,那么将一个点移动到原点,然后枚举另外一个点,这样的直线有
\((n - i)(m - j)\)条
然后斜率可能为负,\(\times 2\)即可
于是总数就是\(2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{m-1}(\gcd(i,j)-1)(n-i)(m-j)\)
于是答案为
\[ \binom{n\times m}3 - n\binom m3 - m\binom n3 - 2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{m-1}(\gcd(i,j) - 1)(n - i)(m - j) \]代码
结论题的代码就是好打
#include#include #include #include #define RG registerinline int read(){ int data = 0, w = 1; char ch = getchar(); while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar(); if(ch == '-') w = -1, ch = getchar(); while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar(); return data * w;}inline long long C(int x) { return 1ll * x * (x - 1) * (x - 2) / 6; }long long ans; int n, m;int main(){ n = read() + 1, m = read() + 1; ans = C(n * m) - n * C(m) - m * C(n); for(RG int i = 1; i < n; i++) for(RG int j = 1; j < m; j++) ans -= 2ll * (std::__gcd(i, j) - 1) * (n - i) * (m - j); printf("%lld\n", ans); return 0;}